1 - Ensembles et applications

Ce premier cours de niveau bac+1 introduit du vocabulaire et des notations qui servent beaucoup dans les mathématiques universitaires.

Vocabulaire, language des ensembles

Fini, infini, dénombrable

Considérons un ensemble d'éléments (par exemple l'ensemble des cartes d'un jeu de cartes, l'ensemble des nombres décimaux, l'ensemble des fonctions dérivables sur [-1,1],...). Cet ensemble peut être fini ou infini, suivant qu'il possède ou non un nombre fini d'éléments. Un ensemble infini peut lui même être dénombrable ou indénombrable. Un ensemble dénombrable, c'est un ensemble dont les éléments sont distincts les uns des autres et qu'on peut commencer à les compter. 

Exemples : un ensemble fini est toujours dénombrable,  est dénombrable, mais  est indénombrable.

Union, intersection, complémentaire

Considérons un ensemble E et créons deux sous-ensembles A et B en utilisant des éléments de E. Par exemple, si E={1,2,3,4,5,6,7) on peut prendre A={1,5,6} et B={1;2;3;4}. L'union de A et de B est l'ensemble composé de tous les élèments qui appartiennent soit à A, soit à B. L'intersection de A et B est l'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. Le complémentaire de A, noté  ou , est l'ensemble de tous les éléments de E qui n'appartiennent pas à A.

Les lois de Morgan relient ces différentes notions et permettent de se familiariser avec.

Loi de Morgan 1 :
Loi de Morgan 2 :

Produit et puissance d'ensembles

Le produit  de deux ensembles A et B est l'ensemble de tous les couples qui peuvent être formés en utilisant un élément de A et un élément de B. Par exemple si  et , alors . On peut définir de la même manière la puissance d'un ensemble. On a par exemple .

Recouvrement et partition

Comme son nom l'indique, le recouvrement d'un ensemble E est un ensemble de sous-ensembles de E qui couvrent E : l'union de ces sous-ensembles est égale à E. Par exemple, si A={1;2;3;4;5;6;7;8;9}, B={1;2;3}, C={1;4;7}, et D={2;5;6;7;8;9}, alors B, C, et D forment un recouvrement de A. Plus généralement une famille  d'éléments de A forme un recouvrement de A si . 

Si les  sont distincts entre eux (intersections vides), on dit qu'ils forment une partition de A.

Symboles et notations

Les symboles ci-dessous permettent d'écrire plus vite en mathématiques.

Symbole	Lecture	Exemple
	appartient
	n'appartient pas
	pour tout
"tq" ou "|"	tel que	Soit a tq a²=1
	il existe
	il existe un unique

Applications entre ensembles

Une application de A dans B est un processus qui à tout élément de A fait correspondre un élément de B. Pour écrire une application, on précise son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée, et la manière dont elle agit sur les élements. Ci-dessous, f, g , et h sont des exemples d'applications entre ensembles.

Si l'application de A dans B prend toutes les valeurs de B, on dit qu'elle est surjective. Si chaque valeur de B n'est jamais prise plus d'une fois, on dit que l'application est injective. Une application à la fois injective et surjective et dite bijective.

Exemples

n'est pas surjective

est surjective

n'est pas injective

est injective

Pour affiner une définition du haut de la page, un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut trouver une application qui réalise une bijection entre lui même et l'ensemble des nombres entiers relatifs.

Vocabulaire

- Une application qui va de E dans E s'appelle un endomorphisme. 

- Une application qui réalise une bijection d'un ensemble E vers un ensemble F s'appelle un isomorphisme. 

- Si il existe un isomorphisme entre un ensemble E et un ensemble F on dit que E et F sont isomorphes.

- Une application bijective de E dans E s'appelle un automorphisme.

- Un homomorphisme d'un ensemble E muni d'une loi de composition interne  (une opération de E dans E) vers un ensemble F muni d'une loi de composition interne  est une application telle que .